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Por: Ing. Henry Salas**
Junio de 1984
Con el fin de evaluar los planes alternativos de ingeniería para el control y manejo de la calidad del agua, pueden emplearse modelos matemáticos que relacionen las entradas de aguas residuales con la calidad del agua del cuerpo receptor. Los diversos grados de tratamiento, la reubicación de los puntos de descarga de aguas residuales, el aumento de los flujos mínimos, los puntos de descarga de aguas residuales, el aumento de los flujos mínimos, los sistemas de tratamiento, la reubicación de los puntos de descarga de aguas residuales, el aumento de los flujos mínimos, los sistemas de tratamiento regional vs. Plantas múltiples, constituyen algunas de las alternativas específicas cuya influencia sobre la calidad del agua receptora pueden evaluarse mediante la aplicación de los modelos de calidad del agua. Los modelos pueden ayudar también a evaluar el beneficio relativo que se obtiene para la calidad del agua mediante la eliminación de diferentes competentes de los contaminantes.
Los factores que influyen sobre el grado de complejidad del modelo incluyen el tipo de problema de calidad del agua que se desea resolver, las características del cuerpo del agua, la disponibilidad de datos observados, históricos, y actuales sobre la calidad del agua y sobre las descargas de aguas residuales, los riesgos para la salud pública y el ambiente relacionados con el área, la gama disponible de opciones y de estrategias y el tiempo y los recursos financieros disponibles.
Los modelos matemáticos de calidad de agua se pueden clasificar de acuerdo con sus niveles de complejidad. Se presenta a continuación una descripción de los tipos de modelos específicos disponibles, acompañada por una presentación de la teoría básica de los mismos.
El principio de conservación de la masa constituye la base para cualquier enfoque determinístico sobre el modelaje de la calidad del agua. Este principio requiere que toda la masa de la sustancia de interés, al ser la concentración resultante calculada por el modelo. Es decir, la distribución resultante debe representar en forma adecuada los mecanismos que afectan la distribución de la masa a la vez debe asegurar que la masa total introducida sea considerada en forma apropiada. Las dos categorías principales de los mecanismos que afectan la distribución de la velocidad y la dispersión dentro del cuero de agua, y las reacciones cinéticas debidas a la naturaleza reactiva de las sustancias consideradas, las cuales tienen implicancias sobre la calidad del agua.
El principio de conversación de la masa puede formularse en breve ecuación matemática aplicable a los parámetros más importante de calidad del agua, como función de posición n y tiempo t . Supongamos que c = c(n,t) es la concentración del parámetro de calidad del agua en consideración. Entonces la ecuación general tridimensional de conservación de la masa variable en el tiempo sería :
donde:
FLUJO =
n = dirección x, y, z.
E = matriz de coeficiente de dispersión.
V = vector de la velocidad.
S = fuentes y pérdidas de masa (provocadas por el hombre y/u otros)
Esta ecuación de diferenciación parcial y tridimensional constituye la expresión más general que dispone para el principio de conservación de la masa, y puede emlearse para describir la distribución de las variables de calidad del agua en los arroyos, ríos, ríos sujetos a la marea, estuarios, embalses, lagos, y regiones costeras.
Se conocen pocas soluciones analíticas para la anterior ecuación en su forma general. Sin embargo, no es necesario aplicarla en mesa forma en todos los casos. Por ejemplo, en ciertos cuerpos de agua, especialmente en los ríos de agua dulce, las gradientes de calidad del agua en sus direcciones laterales y verticales pueden ser insignificantes. Por lo tanto, la ecuación (1) se reduce a su forma unidimensional.
Bajo condiciones de estado permanente, las cuales indican condiciones constantes en tiempo, ac/at es igual a cero, y suponiendo constante la geometría, flujo y tasas de reacción cinética, la solución analítica de la ecuación (1) de forma unidimensional para oxígeno disuelto es comúnmente conocida como "la ecuación de depresión de oxígeno disuelto de Streeter-Phelps (1)".
En otros cuerpos de agua, como lagos, estuarios grandes, etc., normalmente se requiere la aplicación de un análisis bidimensional o tridimensional. En tal caso, para solucionar la ecuación (1), es necesario recurrir a técnicas numéricas. La estrategia básica consiste en reemplazar la ecuación diferencial parcial con aproximaciones de diferencias finitas. Esto se lleva a cabo segmentando primero el cuerpo de agua en elementos de volumen relativamente pequeños, en los que se supone existe una concentración de masa bastante uniforme. Estos segmentos de volumen son interconectados y forman la base para estructurar cualquier configuración general del cuerpo natural de agua. En consecuencia, la ecuación diferencial parcial se reduce a una serie acoplada de ecuaciones diferenciales ordinarias en el tiempo. Si se asume la existencia de un estado estable, ac / at = 0, dichas ecuaciones se convierten en una serie de ecuaciones algebraicas, una ecuación para cada sección finita, cuya solución se obtiene por inversión de la matriz o por técnicas de aproximación. Thomann (2) presenta esta metodología en detalle.
En algunas situaciones es justificable realizar una aproximación de "primera prueba" de las respuestas del sistema, ya sea porque el contexto del problema es tal, que lleva a descartar un modelo que requiere un gasto excesivo de tiempo y costo, o porque se desea llevar a cabo análisis preliminares o de sondeo que indicarían las áreas en donde se requiere un trabajo más detallado. Frecuentemente, mediante un análisis simplificado se satisfacen los requerimientos de la planificación interina.
Las hipótesis que dan lugar a este enfoque simpliuficado de modelo de ríos y estuarios son las siguientes:
Los parámetros de calidad del agua que pueden evaluarse mediante este tipo de análisis comprenden algunos sólidos disueltos, organismos coliformes, nutrientes, oxidación de compuestos carbonáceos y nitrogenados, y oxígeno disuelto. El análisis está estructurado de tal manera que es factible realizar cálculos sobre la calidad del agua con sólo tener conocimiento de las poblaciones actuales y futuras, del área de drenaje y de la profundidad del agua (para los estuarios también se requieren datos del área de la sección transversal). Sin embargo, el grado de validez de los cálculos es proporcional a la extensión de los datos de entrada.
El análisis simplificado contempla el uso de manuales simples, manografías, cálculos simplificados o programas de computadora para realizar el análisis de calidad del agua sin comparar las condiciones observadas con esos cálculos. Los modelos no se verifican. Los resultados de tal análisis simplificado sobre la calidad del agua deben ser considerados únicamente como indicaciones de tendencia y como una predicción cierta precisa. En un análisis "preliminar" o de sondeo, el análisis simplificado sirve para clasificar un área de la siguiente manera:
La publicación, "Modelación matemática simplificada de la calidad del agua", elaborada por la firma Hydroscience (3) para la Agencia de Protección Ambiental (EPA) de los Estados Unidos emplea este enfoque del análisis simplificado y fue utilizado por la EPA con el fin de asesorar y facilitar la planificación interna en ese país
Iniciados por Volleweider (4), durante los últimos dieciséis años se han desarrollado modelos matemáticos simplificados para el análisis de la eutroficación en lagos templados. La metodología se basa principalmente en el balance de masa y/o relaciones empíricas para un nutriente que se supone es limitante, v. g. fósforo. Las hipótesis que fundamentan este enfoque simplificado del modelo de lagos son:
El estado trófico del lago se puede estimar mediante este tipo de análisis utilizando los datos de profundidad y tiempo de retención del lago así como la descarga externa del nutriente actual y/o futuro a la superficie del lago.
Investigadores tales como Chapra & Tarapchak (5), Lee et al .(6) entre otros, desarrollaron posteriormente ecuaciones semiempíricas en las cuales no solamente se podía estimar el nivel de fósforo total sino la variable sino la variable más relevante de clorofila "a" entre otros parámetros como oxígeno disuelto y la profundidad del disco Secchi.
El Centro Panamericano de Ingeniería Sanitaria y Ciencias del Ambiente (CEPIS) tiene enmicado un proyecto regional sobre el desarrollo de metodologías simplificadas para la evaluación de eutroficación en lagos tropicales de aguas cálidas. Como informa Salas (7), se concluyó en este proyecto que los modelos simplificados desarrollados con datos de embalses y lagos templados no son adaptables a lagos cálidos. A través de este proyecto, se han desarrollado tales modelos en forma preliminar para lagos cálidos.
Los usos, calificaciones y advertencias mencionadas anteriormente también se aplican a estas metodologías simplificadas para lagos.
Es posible analizar una gran variedad de problemas de planificación mediante la aplicación de modelos matemáticos d estado permanente, capaces de proporcionar el detalle espacial necesario para variables importantes de la calidad del agua bajo condiciones críticas. El intervalo de tiempo necesario para establecer condiciones de estado permanente varía de acuerdo con la naturaleza del sistema, lo cual incluye parámetros de reacción, dispersión y advección. Desde el punto de vista hidrológico, un arroyo de agua dulce, la condición constante puede establecerse rápidamente y de igual forma desbaratarse con facilidad, mientras que en un estuario es necesario un período más largo de tiempo debido a la presencia de la dispersión. En el primer caso, el intervalo puede ser de horas o días, mientras que en el segundo de semanas o meses.
Muchas reacciones de naturaleza física, química o biológica que ocurren en aguas naturales pueden ser representadas por cinéticas de primer orden; v. g., la tasa de reacción es proporcional a la concentración de la sustancia. Este orden cinético constituye una aproximación práctica a muchas reacciones, que ha demostrando ser adecuada para el análisis de un gran número de componentes existentes en aguas naturales.
Se dispone de programas de computador basados en dos enfoques de solución para e análisis de cinética lineal y estado permanente. El primer enfoque, que puede denominarse el enfoque de solución continua, emplea la solución analítica para la versión unidimensional de la ecuación (1) para el estado permanente con coeficientes constantes. La mayor parte de los ríos o estuarios tienen características geométricas e hidráulicas, tales como áreas de sección transversal, profundidades de flujo, que varían a largo del cauce desde aguas arriba hasta el océano. Las tasas de reacción cinética varían también espacialmente. Con el fin de representar estas variaciones en forma matemática, es necesario dividir el sistema en varios segmentos individuales, cada uno de los cuales se caracteriza por tener sus propios parámetros cinéticos y físicos – hidráulicos. De esta manera, tanto los cambios de la geometría, los tributarios, las represas, los afluentes como las tasas cinéticas, pueden ser incorporados en la definición matemática del sistema. Las soluciones se anotan en términos de coeficientes desconocidos que pueden ser evaluados por medio de una secuencia de balances de masa e igualdades de concentración. En consecuencia, las soluciones continuas se logran a lo largo de cada tramo del cuerpo de agua.
El segundo enfoque, que puede denominarse el enfoque de diferencias finitas, reemplaza fundamentalmente, en la ecuación de estado permanente, a las derivadas por aproximaciones de diferencias, conforme lo analizado anteriormente. La solución se obtiene por medio de una técnica de inversión de la matriz tal como la técnica de eliminación Gaussiana.
La ventaja relativa que se obtiene con el enfoque de solución continua consiste en que tramos más largos del cuerpo de agua pueden ser examinados sin necesidad de recurrirse a una aproximación finita. Como tal, el tamaño de la matriz a invertirse es menor que del enfoque de diferencias finitas. El enfoque de solución continua también cualquier dispersión numérica que resulte de la aproximación de segmentos finitos.
Por otro lado, el enfoque de diferencias finitas es más general y puede ser aplicado fácilmente en cuerpos de agua de hasta tres dimensiones.
Los parámetros de calidad del agua que pueden ser evaluados mediante cada enfoque incluyen ciertos sólidos disueltos, organismos coliformes, nutrientes, oxidación de compuestos carboáceos y nitrogenados, oxígeno disuelto, temperatura y ciertas sustancias tóxicas.
La información de entrada necesaria para cada enfoque incluye datos sobre las descargas de aguas residuales (tanto puntuales y dispersas), las tasas de reacción, los factores hidrodinámicos (estado permanente), la geometría y la temperatura. Los datos de entrada normalmente requeridos tanto en el modelo de solución continua como en el modelo de diferencias finitas son similares.
Las anteriores formulaciones constituyen aproximaciones matemáticas a sistemas naturales complejos. Como tales, a menos que no se realice una verificación con datos observados, dichas formulaciones no pueden ser clasificadas como modelos funcionales. El procedimiento de verificación incorpora la comparación de datos observados con datos calculados en base a varias combinaciones de la descarga de aguas residuales, la temperatura y el flujo de agua dulce. Mientras mayor sea el rango de condiciones que el modelo aproxima con un conjunto consistente de parámetros de insumos básicos, mayor será la probabilidad para realizar una extrapolación realista.
Como una verificación preliminar del modelo, muchas veces es prudente investigar la distribución de otras variables que tienen datos adecuados disponibles. Por ejemplo, puede estudiarse la distribución salina en los estuarios, aún cuando no se le atribuya a la salinidad ninguna significancia en la calidad del agua. Mediante la comparación de los cálculos del modelo matemático con las distribuciones de salinidad observadas, es posible realizar una evolución de los parámetros dispersos e hidrodinámicos empleados en el modelo.
El desarrollo del modelo y la obtención de datos pueden llevarse a cabo en forma simultánea, complementándose ambas partes. Las deficiencias en los datos se podrán indicar con facilidad durante este proceso.
Puede considerarse que el modelo ha sido verificado si prevé en forma satisfactoria el cambio producido en la calidad del agua como resultado de un cambio significativo en las entradas al sistema o si se ha efectuado un cambio en el mismo medio ambiente del cuerpo de agua.
La extensión del procedimiento de verificación depende mayormente del tipo de fenómeno y de la severidad del problema en la calidad del agua. Por ejemplo, si el problema en la calidad del agua.
La extensión del procedimiento de verificación depende mayormente del tipo fenómeno y de la severidad del problema en la calidad del agua. Por ejemplo, si el problema en la calidad del agua se debe a la presencia de niveles tóxicos de un material en una toma de agua potable, entonces se llevaría a cabo un análisis riguroso. Sin embargo, si se trata de un cumplimiento marginal con respecto a una norma de sólidos disueltos totales, el nivel del esfuerzo se vería reducido sustancialmente.
Existen dos marcos básicos de tiempo en los cuales se puede aplicar un análisis de sustancias conservativas variables en el tiempo. El primero se ocupa de las tendencias a largo plazo, de las sustancias que son conservativas, como los sólidos disueltos totales (SDT), o de aquellas sustancias que cambian a tasas tan lentas que pueden ser consideradas como conservativas. Este análisis emplea una gran escala geométrica junto con un balance hídrico anual. Los insumos necesarios incluyen las cargas regionales geometría del área de interés. El incremento a largo plazo del SDT en los Grandes Lagos de los Estados Unidos elaborado por O’Connor & Muller(8) constituye un ejemplo de una aplicación del análisis de sustancias conservativas variables en el tiempo.
El segundo marco en el cual puede aplicarse este tipo de análisis es en la evaluación de las descargas instantáneas de tinte con el fin de determinar las características hidráulicas de un cuerpo de agua. El marco de tiempo puede variar de horas a semanas. Se encuentran disponibles tanto los modelos de diferencias finitas como analíticas de una, dos o tres dimensiones para el análisis de descargas instantáneas de tinte. Se requiere conocimiento de la geometría del área. El tamaño y complejidad del cuerpo de agua dicta la extensión del programa de muestreo de campo. Este análisis resulta en estimados del tiempo de retención y coeficientes de dispersión del cuerpo de agua, los cuales se pueden utilizar en los modelos matemáticos de calidad de agua para los parámetros de interés. Diashishin(9) presenta modelos analíticos para tal aplicación.
En algunos contextos de planificación es necesario realizar la evaluación de las variaciones en la calidad del agua variables en el tiempo. La escala de tiempo en la que estas variaciones se consideran importantes, varía considerablemente y depende del propósito del análisis, de la naturaleza de los fenómenos y del orden de las variaciones temporales.
Los parámetros de calidad del agua que pueden evaluarse con este método incluyen los organismos coliformes, los nutrientes, la oxidación de compuestos carbonáceros y nitrogenados, el oxígeno disuelto estacional y de las fuentes dispersas de desechos estacionales constituyen ejemplos de los tipos de problemas a los cuales puede aplicarse este tipo de análisis. Es posible llevar a cabo también un análisis simple de eutroficación.
El modelo matemático a aplicarse normalmente utiliza el enfoque de diferencias finitas. Las ecuaciones diferenciales resultantes en el tiempo se resuelven numéricamente aplicando el esquema de integración numérica como el de segundo orden Runge-Kutta. El modelo es multidimensional y como tal puede aplicarse a cualquier cuerpo de agua.
Los criterios acerca de los datos de entrada necesarios para un análisis cinético lineal variable en el tiempo son un tanto más rigurosos que para un análisis de estado permanente. Además de los datos de entrada necesarios para el modelo de estado permanente es necesario definir también cómo éstos varían en tiempo. Los insumos que generalmente presentan variaciones temporales son: el flujo de agua dulce, la temperatura, la descarga de aguas residuales y ciertas reacciones físicas, químicas y biológicas.
La demanda de datos para realizar el procedimiento de verificación de un modelo variable en el tiempo sustancial. La verificación se lleva a cabo mediante comparaciones espaciales de datos observados y calculados obtenidos secuencialmente como: t = 0, t = 2, … t = n. Es imprescindible que se utilicen los datos tomados durante una condición no constante; los datos observados, logrados bajo condiciones constantes en el campo, no pueden emplearse en la verificación de un modelo variable en el tiempo.
Generalmente es necesario aplicar un análisis cinético no lineal variable en el tiempo para realizar una evaluación detallada de los problemas de eutroficación. Este tipo de análisis representa la tecnología más avanzada que se encuentra disponible en el modelaje de calidad del agua. Se precisa de las relaciones cinéticas no lineales debido a las complejas relaciones mutuas existentes entre las algas, los nutrientes, el zooplancton y los fenómenos físicos como la luz solar, etc.
El modelo matemático a aplicarse utiliza el enfoque de diferencias finitas y es multidimensional. Se emplea el esquema de integración numérica. La hipótesis fundamental en las formulaciones cinéticas reside en que la tasa de crecimiento de las altas se produce, según las cinéticas de crecimiento Monod con respecto a los nutrientes importantes, v.g., nitrógeno, fósforo y/o sílice. Es decir, durante un nivel adecuado de concentración de substrato, la tasa de crecimiento procede a nivel máximo o de saturación, tasa prevalente por la temperatura y las condiciones de luz existentes siguiendo esencialmente las cinéticas de crecimiento de primer orden. Sin embargo, a bajas concentraciones de nutrientes la tasa de crecimiento se vuelve proporcional a la concentración de nutrientes; en consecuencia, son cinéticas de crecimiento interaccionados como los siguientes:
y según la cadena alimenticia, el nivel de peces.
En vista de las muchas incertidumbres relacionadas con el fenómeno de la eutroficación, es preciso realizar un análisis de verificación detallada antes de utilizar con propiedad este tipo de análisis como una herramienta de planificación. Será necesario disponer entonces de una gran cantidad de datos que cubran una amplia gama de parámetros en la calidad del agua, así como de datos físicos tales como la luz solar, la turbiedad, entre otros, que podrían afectar el crecimiento de las algas y que serían utilizados como entradas al modelo. Sería necesario realizar también una evaluación rigurosa de la variación de las descargas de desechos líquidos tanto para las fuentes puntuales como para las dispersas.
Este tipo de análisis requiere de un compromiso sustancial de recursos tanto en tiempo como en costo.
Los modelos matemáticos de calidad de agua sirven como herramientas imprescindibles en el planeamiento del uso de recursos hídricos para prever el impacto de planes de ingeniería para el control y manejo del medio ambiente. La selección del tipo de modelo matemático a aplicarse depende del problema de calidad de agua y de las inversiones propuestas.
Se destaca la importancia de establecer una base confiable de datos tanto de la calidad de agua del cuerpo de agua receptor como de las fuentes contaminantes para el procedimiento de calibración y verificación de modelos más complejos. Aunque las inversiones asociadas con tales campañas de muestreo pueden ser sustanciales resultan ser mínimas en comparación con los riesgos ambientales y costos de la construcción de las instalaciones físicas de tratamiento.
Publicación reciente del CEPIS
Acaba de aparecer una publicación del CEPIS titulada "Información sobre la colaboración que el CEPIS puede prestar a los países de la Región en sus actividades de capacitación en ingeniería sanitaria y ambiental y en saneamiento". Lima, Perú, CEPIS/HPE, JUNIO DE 1984. 90 p. EUA$1.00 (incluyendo gastos de envío).
El documento contiene el diseño de 31 cursos, seminarios o talleres en los cuales puede colaborar el CEPIS, con detalles de justificación, título, temas, objetivos generales, agenda, objetivos de aprendizaje, población objeto, requisitos de los participantes, carga horaria, métodos y técnicas de enseñanza, ayudas didácticas necesarias y equipo y material audiovisual necesario en cada uno. El documento contiene también formularios que las instituciones de los países pueden utilizar para solicitar la colaboración del CEPIS en cursos y reuniones.
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